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2017-02-20 投稿作者:小三丶你好可笑 点击:816

篇一:图结构及其应用

图结构及其应用

图是另外一种重要的非线性数据结构,在信息学奥赛中的应用非常广泛,基于图结构的图论算法是奥赛中考查的重点,本章主要介绍图的基本概念、图的存储和遍历、经典的图论算法等知识。

第一节 图的基本概念

1、图的定义

如果数据元素集合D中的各元素之间存在任意的前驱和后继关系R,则此数据结构G=(D,R)称为图。如果将数据元素抽象为结点,元素之间的先后关系用边表示,则图亦可以表示为G=(V,E),其中V是结点的有穷(非空)集合,E为边的集合。如果元素a是元素b的前驱,这种先后关系对应的边用(a,b)表示,即(a,b)∈E。图可以分为无向图和有向图两种形式。

2、无向图和有向图

⑴无向图:在图G=(V,E)中,如果对于任意的a,b∈V,当(a,b)∈E时,必有(b,a)∈E(即关系R对称),对称此图为无向图。在无向图中用不带箭头的边连接两个有关联的结点。在具有n个结点n*(n?1)

2的无向图中,边的最大数目为:而边数达到最大值的图称为无向完全图。

在无向图中一个结点相连的边数称为该结点的度。如图9-1(A)V={1,2,3,4}E={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}。

⑵有向图:如果对于任意的a,b∈V,当(a,b)∈E时 ,(b,a)∈E未必成立,则称此图为有向图。在有向图中,通常用带箭头的边连接两个有关联的结点(方向由前件指向后件)。例如图9-1(B)为有向图。有向图中一个结点的后件个数称为该结点的出度,其前件个数称为该结点的入度。一个结点的入度和出度之和称为该结点的度。图中结点的最大度数称为图的度。例如下图9-1(B)中结点1的出度和入度分别为1,结点1和结点1度都为2。整个图的度为2。

如图9-1(B) V={1,2,3}E={<1,2>,<2,1>,<2,3>}

(A) (B)

图9-1无向图和有向图

4、简单路径和回路

如果一条路径上的结点除起点x1和终点xk可以相同外,其它结点均不相同,则称此路径为一条简单路径。图9-1 (A)中v1→v2→v3是一条简单路径,v1→v3→v4→v1→v3不是简单路径。x1=xk的简单路径称为回路(也称为环)。例如图9-1(B)中,v1→v2→v1为一条回路。

5、图的顶点和边的性质1:设图G中有n个顶点、e条边,即n=︱V(G)︳,e=︱E(G)︳,则(1)对无向图,0≤e≤n(n-1)/2;(2)对有向图,0≤e≤n(n-1)。

6、完全图、有向完全图、稀疏图、稠密图:有n(n-1)/2条边的无向图称为完全图(completed graph);有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图;边或弧很少(如e<nlogn)的图称为稀疏图(sparse graph),反之称为稠密图(dense graph)。

7、权、网:有时,图的边或弧带有与它相关的数,叫做权(weight)或代价(cost)。这种带权的图通常称为网(network)。

8、子图:假设有两个图G=(V,E),G’=(V’,E’),若V(G)≦V’(G’)且E(G)≦E’(G’),则成G为G’的子图(subgraph)。

9、邻接点、度:对于无向图G=(V,E),如果边(v,v’)∈E(G),则称顶点v和v’互为邻接点(adjacent),即v和v’相邻接。边(v,v’)依附于顶点v和v’,或者说边(v,v’)和顶点v、v’相关联。对于无向图G=(V,E),v ∈V(G),顶点v的度(degree)是和v相关联的边的数目,记为TD(v)。对于有向图G=(V,E),如果弧<v,v’>∈E(G),则称顶点v邻接到v’,顶点v’邻接自顶点v,弧<v,v’>和顶点v、v’相关联。对于有向图G=(V,E),v ∈V(G),以顶点v为头的弧的数目称为v的入度(in-degree),记为ID(v);以v为尾的弧的数目称为v的出度(out-degree),记为OD(v);顶点v的度为TD(v)=ID(v)+OD(v)。

10、图的顶点和边的性质2:一个有n个顶点v1,v2,…,vn,e条边或弧的图,满足如下关系:

11、连通、连通图、连通分量:在无向图G中,如果从顶点v到顶点v’有路径,则称v和v’是连通的。如果图中任意两个顶点之间都存在路径,则称该无向图G为连通图。连通分量指的是图中的极大连通子图。在有向图G中,如果对于每一对顶点v、v’,从v到v’和从v’到v都存在路径,则称G是强连通图。有向图的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

第二节 图的存储和遍历

1.图的存储结构

(1)图的邻接矩阵表示法

邻接矩阵是表示结点间相邻关系的矩阵。若G=(V,E)是一个具有n个结点的图,用邻接矩阵表示法来表示时,除了用邻接矩阵中的n*n个元素存储顶点间相邻关系外,往往还需要另设一个向量存储n个顶点的信息。因此其类型定义如下:

const vnum=…;{图的顶点数}

type

adj=0..1;

adjmatrix=arry[1..vnum,1..vnum]of adj;{邻接矩阵}

graph=record

vexs:array[1..vnum]of vextype;{顶点向量}

arcs:adjmatrix;{邻接矩阵}

end;

若图中每个顶点只含一个编号i(1≤i≤vnum),则只需一个二维数组表示图的邻接矩阵。此时存储结构可简单说明如下:

const vnum=…;{图的顶点数}

type

adj=0..1;

adjmatrix=array[1..vnum,1..vnum]of adj;

图9-2 无向图和有向图的存储

图9-2中的图G1和图G2对应的邻接矩阵分别为:

邻接矩阵的特点:

(1)无向图的邻接矩阵是对称的,而有向图则不是。

(2)容易判定任意两个结点之间是否有边相联。

(2)邻接矩阵方便度数的计算。

对于无权无向图的邻接矩阵,第i行元素值的和就是Vi的度数;对于无权有向图的邻接矩阵,第i行元素值的和就是Vi的出度,第i列元素值的和就是Vi的入度;)对于有权无向图的邻接矩阵,第i行(或第i列)中元素值<>0的元素个数就是Vi的度数;对于有权有向图的邻接矩阵,第i行中元素值<>0的元素个数就是Vi的出度;第i列元素值<>0的元素个数就是Vi的入度。

2、图的遍历

给出一个图G和其中任意一个结点V0,从V0出发系统地访问G中所有结点,每一个结点被访问一次,这就叫图的遍历。

通常有两种遍历方法:⑴深度优先搜索dfs ⑵广度优先搜索bfs。两种方法对无向图和有向图都适用。我们以邻接矩阵存储结构给出深度优先搜索和广度优先搜索的程序。

(1)深度优先搜索DFS

深度优先搜索类似于树的前序遍历,是树的前序遍历的。其搜索过程如下:假设初始时所有结点未曾被访问。深度优先搜索从某个结点V0出发,访问此结点。然后依次从V0的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图,直至图中所有和V0有路径相连的结点都被访问到。若此时图中尚有结点未被访问,则另选一个未曾访问的结点作起始点,重复上述过程,直至图中所有结点都被访问为止。换句话说,深度优先搜索遍历图的过程是以V0为起始点,由左而右,依次访问由V0出发

的每条路径。

①从某一顶点出发开始访问,被访问的顶点作相应的标记,输出访问顶点号。

②从被访问的顶点出发,搜索与该顶点有边的关联的某个未被访问的邻接点,再从该邻接点出发进一步搜索与该顶点有边的关联的某个未被访问的邻接点,直到全部接点访问完毕。 ?0??3?5??8?0?3580??06411?6020??42010?110100???0??1?0??1?0?1000??0001?1010??0000?0010??

如图9-3,从V1

开始的深度优先遍历序列为V1,V2,V3,V4,V5。

【参考程序】

procedure shendu(i);

begin

write(i);

v[i]:=true;

for j:=1 to n do

if (a[i,j]=1) and not(v[j]) then shendu(j);

end;

(2)广度优先搜索(宽度优先搜索)BFS

广度优先搜索类似于树的按层次遍历的过程,其搜索过程如下:假设从图中某结点v0出发,在访问了v0之后依次访问v0的各个未曾访问的邻接点,然后分别从这些邻接点出发按广度优先搜索的顺序遍历图,直至图中所有可被访问的结点都被访问到。若此时图中尚有结点未被访问,则任选其中的一个作起始点,重复上述过程,直至图中所有结点都被访问到为止。换句话说,按广度优先顺序搜索遍历图的过程是以v0为起始点,由近及远,依次访问和v0有路径相连且路径长度为1,2,3……的结点。

【算法过程】

①从某个顶点出发开始访问,被访问的顶点作相应的标记,并输出访问顶点号;

②从被访问的顶点出发,依次搜索与该顶点有边的关联的所有未被访问的邻接点,并作相应的标记。 ③再依次根据②中所有被访问的邻接点,访问与这些邻接点相关的所有未被访问的邻接点,直到所有顶点被访问为止。序列为C1,C2,C3,C4,C5,C6。

图9-3 图的深索

图9-4的广度优先遍历

【算法过程伪代码】

procedure guangdu(i);

begin

write(i);

v[i]:=true;

i进队;

repeat

队首元素出队设为k

for j:=1 to n do

if (a[k,j]=1) and (not v[j]) then

begin

write(j);

v[j]:=true;

j进队;

end;

until 队列q为空;

end;

例9-1 写出图的深度优先搜索(DFS)算法和广度优先搜索(BFS)算法。

【输入】第一行为图的结点数n,下面的n行为每个结点的名字,第n+2行为边的数目e,以下e行为有边的结点对。

【输出】

两行,第一行为深度优先搜索后的序列,第二行为广度优先搜索后的序列。

【样例输入】

4

a

b

c

d

2

1 2

3 4

【样例输出】

abcd

abcd

【参考程序】

program dfsbfs(input,output);

var a:array[0..100,0..100]of integer;{图的邻接矩阵}

visited,come:array[0..100]of integer;{访问标志}

queue:array[0..100]of integer;{队列}

t:array[0..100]of char;{结点信息}

i,head,tail,n:integer;

procedure init;

var i,j,e,k:integer;

begin

readln(n);

for i:=1 to n do readln(t[i]);{顶点信息}

readln;

fillchar(a,sizeof(a),0);

readln(e);{边数}

for k:=1 to e do{读入边的点信息,建立邻接矩阵}

篇二:“八一”晚会串台词

“八一”晚会串台词

女;尊敬的各位领导,各位首长

男;亲爱的战友们,敬爱的父老乡亲们

合;大家晚上好

女;又是一个姹紫嫣红的季节,又是一个欢声笑语的时刻。

男;今晚我们欢聚一堂,共叙军民鱼水情,共庆“八一”建军节。 女;无论是腥风血雨的年代还是在白鸽飞舞的时期,亲人解放军把青

春化做守望的目光,人民军队永远是祖国的钢铁长城。

男;在冠军彩票首页到来之际,首先我们向心中最可爱的人致以节日的

问候!向人民子弟兵道一声:你们辛苦了,人民感谢你们! 女;光临今天晚会的有市五大班子、东营军分区、济军生产基地的领

导以及市直有关部门的领导同志,让我们用热烈的掌声向各位领导的光临表示欢迎。

男:近年来,市委、市政府高度重视双拥工作,“再难不难子弟兵,

致富不忘烈军属”。驻军、驻警官兵,“视人民为父母,把东营当故乡”,全市军民同呼吸、共命运、心连心,去年被评为全国双拥模范城。

女;这里有人民军队的大力支持和无私奉献,更有人民群众对子弟兵

的浓浓深情。

男;军民鱼水情意长,携手并肩铸辉煌。东营市庆八一专场演出 合:现在开始

一、《军民鱼水情》

女:你在深山守着寂寞伴着荒凉

男:你在边关饮着孤独紧握钢枪

女:你在阳光里把和平鸽放飞

男:你在月光下把思念带回家乡。

女:为了大地的丰收,为了百姓的安康。

男:这就是咱当兵的人,

二《咱当兵的人》

男:接下来请听东营军分区的马岩为大家演唱一首《唱支山歌给党听》

三、《唱支山歌给党听》

女:军歌唱起来,军旗扬起来

英姿飒爽的女兵们阔步走过来

男:水让我温柔,山让我豪迈

军中姐妹诉说着女兵的情怀。

四、《军中姐妹》

五、《送别》

女:曾经穿越枪林弹雨,用血肉铸成不朽的长城

男:曾经博击惊涛陔浪,用生命展示军人的雄风。

女:当白鸽飞舞春满人间的时候,

男:耳边不仅又想起泸定桥那隆隆的炮声。

六、《飞夺泸定桥》

女:东西南北兵,热血在沸腾,

操着不同的方言相聚在军营

男:官兵如兄弟,战友情意浓

连队就象一个温暖的大家庭。

女:请听歌曲,《东西南北兵》

七、《东西南北兵》

女:请欣赏济军生产基地的张勇为大家表演一段快板书《火车启运》

八、《火车启运》

男:军爱民,民拥军。军民鱼水情意深,

军歌唱的军威壮,军民永远一家亲。

九《拥军爱民歌》

女:这是发生在我们东营的一个真实的故事,军民鱼水同呼吸、共命

运、心连心,谱写了一曲感人至深的拥军爱民之歌。请听配乐诗朗诵《 》

十、诗朗诵

女:朋友们,今天故事的主人公也来到了我们的晚会现场,掌声有请

(采访)

是的,绿色是青春,绿色是阳光,绿色是奉献,绿色是城墙,哪里有绿色就春风荡漾,和平安祥。接下来请听男声独唱《军人本色》

十一、《军人本色》

男:接下来请听济军生产基地的李春山为大家带来的唢呐独奏《打宫

门》

十二、《打宫门》

女:这是我们学唱的第一首歌,

它缔造了一个崭新的中国,

它曾经在太空划过,

它激励着几代人奋勇拼搏。

请欣赏舞蹈《东方红》

十三、《东方红》

十四、《难忘的旋律》

女;多少年来,我们的新中国日新月异,发生了翻天覆地的变化,千

变万变,唯独不变的是军队和人民的鱼水情。

男;让我们军民携手,团结一致,共同铸就新时代的万里长城,共同

创造更加灿烂辉煌的明天。

十五;《军队和老百姓》

结束语

篇三:中央台八一晚会串词

节目1:《中国人民解放军军歌》,作曲:郑律成,表演:中国人民解放军军乐团,指挥:王登梅

女:电视机前的观众朋友们 男:尊敬的各位首长,亲爱的战友们 合:大家节日好

女:您现在正在收看的是《强我国防 神采飞扬》2011年中央电视台军事节目中心八一晚会,伴随着中国人民解放军军歌,雄壮的旋律,我们迎来了人民军队84周年华诞。

男:在今天这个特殊的日子里,我们将最美的歌声,最美的旋律和最美的祝福,送给最可爱的人,人民子弟兵。

女:回眸84年前,随着南昌城里一声枪响,中华大地飘起了一面鲜红的旗帜,在这面旗帜的引领下,人民军队走过了辉煌的历程,谱写了壮丽厚重的历史篇章。

男:84年后的今天,我们站在全新的时间坐标上,我们相信我们的道路会越来越宽广,我们的队伍会越走越长。

节目2:《我们的队伍越走越长》,作词:张吉义,作曲:羊呜,演唱:王宏伟(总政歌舞团),伴舞:北京军区警卫营

女:在纪念冠军彩票首页这个特殊的日子里,我们回顾人民军队走过的光辉历程,我想每个人的脑海里,都会闪现出这样几个画面,那就是南昌的枪声,井冈的雷电,长征的风雪,抗日的烽火,解放的硝烟。

男:这些瞬间已成为历史,但是我们永远不会忘记,先烈们抛头颅洒热血,换来的胜利果实,他们的精神,他们的理想,他们的忠诚,将永远引领我们继续前行。

节目3:《红梅赞》作词:闫肃,作曲:羊呜、姜春阳、金砂,演唱:王莉(空政文工团)

女:一曲《红梅赞》,传唱了几十年,今天听来依然是那样激动心怀。

男:没错,周涛,我考考你,今年你觉得哪首歌最红,那首歌最火?我觉得今年最流行的歌,应该不是哪一首歌,是红歌,那今年是中国共产党成立90周年,我们再次唱响当年激动我们的歌曲,依然是那么振奋。

男:是这样的,今年你看,全国各地,大江南北,无论从事各行各业,男女老少,都是唱红歌,赛红歌,我们人民军队更是用红歌这种方式,表达着对党对人民的无限忠诚和热爱

节目4:《党啊 我想对你说》,作词:马金星,作曲:平远、可欣,演唱:吕继宏(海政文工团),伴舞:吉林市歌舞团

节目5:《雪山升起红太阳》,改编:日翁斯曼,演唱:雪莲三姐妹

男:一首首红歌记录着人民军队走过的每一步,今天就让红歌的旋律待我们重走长征路,重新去感受彝海结盟的深情厚谊。

节目6:《情深意长》,作词:王印泉,作曲:威东升,演唱:阿鲁阿卓(空政歌舞团)

女:我们说人民军队人民爱, 人民军队爱人民,所以每当人民处于危难之中,我们的子弟兵总是冲在最前面,无论是抗震救灾,还是抗洪抢险,哪里有他们,哪里就有生命的希望,哪里有他们,哪里就有重建家园的可能,接下来来自二炮文工团的舞蹈演员们,将用她们的舞蹈为大家讲述一个动人的故事。

节目7:《清泉》,编导:蔡薇蔓,作曲:竹青,表演:第二炮兵政治部文工团

男:和平时期的军人他们告别了战火硝烟,更多的是在守望和平,默默地为党和人民奉献。

女:也有人这样说,生活在和平年代的军人是有一些些遗憾的,因为他们没有办法体会战场上的金戈铁马,但是在这里我们想说,不管是在战争年代,还是在和平时期,我们都离不开人民军队,正是因为有了他们,人民生活才会更加安定,我们的祖国才会更加强大。

节目8:《祖国万岁》,作词:朱海,作曲:刘青,演唱:谭晶(总政歌舞团),伴舞:吉林市歌舞团。

女:我们总是把军队和老百姓的关系比作鱼水情深,的确是这样,国防建设、军队建设,都离不开人民群众的大力支持,那

今天我们晚会的录制现场,我们也非常高兴的邀请到了长期以来拥军爱军的来自郎酒集团的朋友们,我们欢迎大家。

男:说起郎酒集团的朋友,和军队真的是很有渊源,从2009年至今,从内地到边关,从北极哨所到东方第一哨,处处都留下了他们拥军的身影,我们的战友也感受到了那份浓浓的鱼水深情,在这里我建议咱们现场所有的战友,再次把掌声送给他们,谢谢!

节目9:《拥军爱民》,作词:胡宏伟,作曲:戚云飞,演唱:陈思思(第二炮兵政治部文工团),伴舞:吉林市歌舞团

男:在我们的军营当中,不知道有多少铮铮铁骨的男儿,怀揣着报国的梦想,来到军营,他们在这里实现着人生的价值,实现着青春的理想。

节目10:《好男儿就是要当兵》,作词:香君,作曲:戚建波,演唱:刘和刚(空政文工团),伴舞:北京军区警卫营

女:今天是军人的节日,我们把心中的赞美和祝福,送给广大军人的同时,我想我们也不应该忘记,他们身后的军属们,我们说,军功章有你的一半也有我的一半,正是有了广大军属的默默支持和奉献,才让我们的军人能够安心服役,保家卫国。

男:在今天这样一个军人的节日里,我们要通过电视机的镜头,向所有远在家乡的亲人,道一声你们辛苦了,谢谢你们,对

国防,对军队的奉献,谢谢!那么在这里,我们还要建议,所有的战友,咱们有时间的时候,多给家里打个电话,问候一下爷爷奶奶、爸爸妈妈,问候一下老婆孩子,其实家乡的亲人听到了我们一句简单的问候,他们就开心了,他们就放心了,大家说对不对!

节目11:《女兵电话》,作词:任毅,作曲:印青,演唱:王丽达(空政歌舞团),伴舞:吉林市歌舞团

男:在我们的军营中有一个特殊的称谓,首长。首长这个称谓透出的是无限的敬意,首长是我们的良师益友,在训练中从来是严格要求,在生活上从来是关怀备至,默默地注视着我们从一名普通的青年,成长为合格的共和国军人。

节目12:《你是我的首长 我是你的兵》,作词:康建春,作曲:朱廉洁,演唱:司红军(武警文工团)

女:年轻的士兵带着亲人的嘱托,从祖国的四面八方来到绿色的军营,他们像是一颗颗种子,随时扎根在祖国最需要的地方,年轻的士兵也是国防现代化的未来希望,今天面对鲜红的军旗,他们自豪地说中国有我。

节目13:《中国有我》,作词:小雨、王兵,作曲:赵亮,演唱:纪敏佳(空政文工团)

男:作为一名军人,从进入军营的那一刻起,就会和很多战

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